‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ: Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\. Gợi ý giải Giải bài 3 trang 76 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Cho tứ diện \(OABC\) có \(G\left( {3; – 3;6} \right)\) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm \(A\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho tứ diện \(OABC\) có \(G\left( {3; – 3;6} \right)\) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm \(A\) thoả mãn \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 1;4; – 2} \right)\).
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ:
Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2}} \right)\).
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
Lời giải:
Giả sử \(A\left( {a;b;c} \right)\).
\(G\) là trọng tâm của tứ diện \(OABC\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} = – \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GO} } \right)\end{array}\)
Ta có \(G\left( {3; – 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \left( {3; – 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GO} = \left( { – 3;3; – 6} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GO} = \left( {1 + \left( { – 1} \right) + \left( { – 3} \right);2 + 4 + 3;3 + \left( { – 2} \right) + \left( { – 6} \right)} \right) = \left( { – 3;9; – 5} \right)\)
Do đó \(3\overrightarrow {GA} = \left( {3; – 9;5} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = \left( {1; – 3;\frac{5}{3}} \right)\).
Mặt khác \(\overrightarrow {GA} = \left( {a – 3;b + 3;c – 6} \right)\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a – 3 = 1\\b + 3 = – 3\\c – 6 = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = – 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( {4; – 6;\frac{{23}}{3}} \right)\).