‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right)\). Giải chi tiết Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { – 1;4; – 7} \right)\) và \(D’\left( {6;8;10} \right)\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { – 1;4; – 7} \right)\) và \(D’\left( {6;8;10} \right)\). Tìm toạ độ của điểm \(B’\).
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right)\).
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
Lời giải:
Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\). Ta có
\(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} – 2;{y_D} – 4;{z_D}} \right)\).
\(\overrightarrow {BC} = \left( { – 1 – 4;4 – 0; – 7 – 0} \right) = \left( { – 5;4; – 7} \right)\).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} – 2 = – 5\\{y_D} – 4 = 4\\{z_D} = – 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = – 3\\{y_D} = 8\\{z_D} = – 7\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( { – 3;8; – 7} \right)\).
Giả sử \(B’\left( {{x_{B’}};{y_{B’}};{z_{B’}}} \right)\). Ta có
\(\overrightarrow {BB’} = \left( {{x_{B’}} – 4;{y_{B’}};{z_{B’}}} \right)\).
\(\overrightarrow {DD’} = \left( {6 – \left( { – 3} \right);8 – 8;10 – \left( { – 7} \right)} \right) = \left( {9;0;17} \right)\).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B’}} – 4 = 9\\{y_{B’}} = 0\\{z_{B’}} = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B’}} = 13\\{y_{B’}} = 0\\{z_{B’}} = 17\end{array} \right.\). Vậy \(B’\left( {13;0;17} \right)\).