Giải Câu hỏi Hoạt động 4 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều – Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn. Hướng dẫn: Thay \(b = 2b’\) vào \(\Delta = {b^2} – 4ac\) rồi thu gọn.
Câu hỏi/Đề bài:
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) với \(b = 2b’\).
a) Đặt \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\), chứng tỏ rằng \(\Delta = 4\Delta ‘.\)
b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: \(\Delta ‘ > 0;\Delta ‘ = 0;\Delta ‘ < 0.\)
Hướng dẫn:
a) Thay \(b = 2b’\) vào \(\Delta = {b^2} – 4ac\) rồi thu gọn.
b) Xét dấu của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\).
Lời giải:
a) Thay \(b = 2b’\)vào \(\Delta = {b^2} – 4ac\) ta được:
\(\Delta = {b^2} – 4ac = {(2b’)^2} – 4ac = 4b{‘^2} – 4ac = 4\left( {b{‘^2} – ac} \right) = 4\Delta ‘\) (vì \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\))
\( \Rightarrow \) đpcm
b) Vì \(\Delta = 4\Delta ‘ \Rightarrow \Delta ‘ = \frac{\Delta }{4}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta ‘\)cùng dấu. Vậy:
Nếu \(\Delta ‘ > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ – b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a};{x_1} = \frac{{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} }}{a}\)
Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ – b’}}{a}.\)
Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình vô nghiệm.