Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Hướng dẫn trả lời Giải bài 9 trang 86 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R….
Đề bài/câu hỏi:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.
a) Chứng minh rằng O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Vẽ tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R) với JK // BC, IJ // AC, IK // AB. Chứng minh tam giác IJK đều.
c) Gọi R’ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính \(\frac{r}{{R’}}\).
Hướng dẫn:
Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
Chứng minh các góc của tam giác IJK bằng 60o.
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải:
a) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các chân đường cao của tam giác ABC, hay AA’; BB’, CC’ lần lượt là các đường tuyến giao nhau tại điểm O.
Nên O là trọng tâm tam giác ABC và đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Do JK // BC và IK // AB nên tứ giác ABCK là hình bình hành. Mặt khác, \(\widehat {ABC} = {60^o}\). Suy ra \(\widehat {AKC} = {60^o}\) hay \(\widehat {{\rm{IJ}}K} = {60^o}\). Tương tự \(\widehat {KJI} = {60^o}\).
Do đó tam giác IJK là tam giác đều.
c) R’ = \(\frac{{JK\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AK\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2BC\sqrt 3 }}{3}\) mà OA = \(\frac{{BC\sqrt 3 }}{3}\) nên R’ = 2 OA = 4 OA’ = 4r. vậy \(\frac{r}{{R’}} = \frac{1}{4}\).