Tìm m để \(\Delta > 0\). b) Bước 1: Tìm tổng và tích của \({x_1}\) và \({x_2}\). Bước 2. Gợi ý giải Giải bài 30 trang 71 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài 3. Định lí Viète. Cho phương trình ({x^2} + left( {2m – 1} right)x – m = 0)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho phương trình \({x^2} + \left( {2m – 1} \right)x – m = 0\).
a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi \({x_1};{x_2}\)là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 – {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
a) Tìm m để \(\Delta > 0\).
b) Bước 1: Tìm tổng và tích của \({x_1}\) và \({x_2}\).
Bước 2: Biến đổi \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 – {x_1}{x_2}\) để làm xuất hiện \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).
Bước 3: Thay các giá trị \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) vào biểu thức vừa tìm được.
Bước 4: Biến đổi \(A = {B^2} + k\) với \(k > 0\), chứng minh \(A \ge k\).
Bước 5: Biện luận để tìm GTNN của A và tìm m.
Lời giải:
a) Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 2m – 1;c = – m\)
Ta có \(\Delta = {\left( {2m – 1} \right)^2} – 4.1.\left( { – m} \right) = 4{m^2} + 1\)
Mặt khác \(4{m^2} \ge 0;1 > 0\) nên \(\Delta = {\left( {2m – 1} \right)^2} + 4 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = – 2m + 1;{x_1}.{x_2} = – m\)
Ta có:
\(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 – {x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 3{x_1}{x_2} \\= {\left( { – 2m + 1} \right)^2} – 3\left( { – m} \right) \\= 4{m^2} – m + 1 \\= {\left( {2m – \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}\)
Do \({\left( {2m – \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0;\frac{{15}}{{16}} > 0\) nên \({\left( {2m – \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\) hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {2m – \frac{1}{4}} \right)^2} = 0\), suy ra \(m = \frac{1}{8}\).
Vậy A đạt GTNN bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \(m = \frac{1}{8}\).