Bài 31 trang 71 SBT toán 9 – Cánh diều tập 2: Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8. Chứng tỏ rằng

Đề bài/câu hỏi:

Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn \(x + y + z = 5\) và \(xy + yz + xz = 8\).

Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};1 \le y \le \frac{7}{3};1 \le z \le \frac{7}{3}\)

Hướng dẫn:

* Chứng minh \(1 \le x \le \frac{7}{3}\).

Bước 1: Đặt \(S = y + z;P = yz\)

Bước 2: Biến đổi và biểu diễn S, P thông qua biến x.

Bước 3: Dùng định lý Viète đảo: Nếu hai số có tổng S và tích P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình: \({X^2} – SX + P = 0\)(điều kiện: \({S^2} – 4P \ge 0\)).

Bước 4: Ta chứng minh \(1 \le x \le \frac{7}{3}\) thông qua việc biện luận để giải phương trình \({S^2} – 4P \ge 0\).

Lời giải:

Đặt \(S = y + z;P = yz\)

Suy ra: \(S = y + z = 5 – x;\) \(P = yz = 8 – x\left( {y + z} \right) = 8 – x\left( {5 – x} \right)\).

Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:

\({X^2} – \left( {5 – x} \right)X + 8 – x\left( {5 – x} \right) = 0\)

Điều kiện: \({S^2} – 4P \ge 0\)

hay \({\left( {5 – x} \right)^2} – 4.\left[ {8 – x\left( {5 – x} \right)} \right] \ge 0\),

do đó \( – 3{x^2} + 10x – 7 \ge 0\),

hay \(3{x^2} – 10x + 7 \le 0\),

suy ra \(3\left( {x – 1} \right)\left( {x – \frac{7}{3}} \right) \le 0\) (*).

Vì \(3{x^2} – 10x + 7 \le 0\) và \(x – 1 > x – \frac{7}{3}\) nên (*) suy ra \(x – \frac{7}{3} \le 0\) và \(x – 1 \ge 0\), do đó \(x \le \frac{7}{3}\) và \(x \ge 1\)

Vậy \(1 \le x \le \frac{7}{3}\).

Tương tự ta chứng minh được \(1 \le y \le \frac{7}{3}\), \(1 \le z \le \frac{7}{3}\).