Chứng minh \(\Delta OAC = \Delta OAB\left( {g. c. g} \right)\) để suy ra \(\widehat {ACO} = 90^\circ \). b) Tính AC. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 19 trang 108 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 1 – Bài 3. Tiếp tuyến của đường tròn. Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA = 25\)cm….
Đề bài/câu hỏi:
Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA = 25\)cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.
a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(\Delta OAC = \Delta OAB\left( {g.c.g} \right)\) để suy ra \(\widehat {ACO} = 90^\circ \).
b) Tính AC: định lý Pythagore trong tam giác vuông AOC.
Tính CB: \(CB = HC + HB.\)
Lời giải:
a) Tam giác OCB có \(OC = OB\left( { = R} \right)\) nên tam giác OCB cân tại O, mà \(OH \bot CB\) nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác OCB, suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\).
Xét tam giác OAC và OAB có:
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\);
OA chung;
\(OC = OB\)
Do đó \(\Delta OAC = \Delta OAB\left( {g.c.g} \right)\), suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {ABO}\).
Mà \(\widehat {ABO} = 90^\circ \)(do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)) nên \(\widehat {ACO} = 90^\circ \).
Vậy AC là tiếp tuyến của (O).
b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOC ta có:
\(AC = \sqrt {A{O^2} – C{O^2}} = \sqrt {{{25}^2} – {{15}^2}} = 20\)cm.
Vì \(\Delta OAC = \Delta OAB\) nên \(AC = AB = 20\)cm.
Xét tam giác OCH và OAC ta có:
\(\widehat {{O_1}}\) chung;
\(\widehat {OHC} = \widehat {OCA}\left( { = 90^\circ } \right)\)
nên \(\Delta OHC\backsim \Delta OCA\left( g.g \right)\)
Do đó \(\frac{{HC}}{{CA}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) hay \(HC = \frac{{CA.OC}}{{OA}} = \frac{{20.15}}{{25}} = 12\)cm.
Vì OH là đường trung tuyến của tam giác OCB nên \(HC = HB = 12cm\)
và \(CB = HC + HB = 12 + 12 = 24cm\).
Vậy \(AC = AB = 20\)cm; \(CB = 24cm\).