Trang chủ Lớp 9 Toán lớp 9 SBT Toán 9 - Cánh diều Bài 17 trang 106 SBT toán 9 – Cánh diều tập 1:...

Bài 17 trang 106 SBT toán 9 – Cánh diều tập 1: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C

Bước 1: Chứng minh \(OI \bot CD\). Bước 2: Chứng minh \(\Rightarrow \Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c. g. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 17 trang 106 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 1 – Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm….

Đề bài/câu hỏi:

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:

a) \(EB.EA = EI.EO\)

b) \(A{B^2} = AC.AD\)

Hướng dẫn:

a) Bước 1: Chứng minh \(OI \bot CD\).

Bước 2: Chứng minh \(\Rightarrow \Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ADE = \angle ABC\).

b) Bước 1: Chứng minh \(A{B^2} = O{A^2} – O{B^2} = O{A^2} – {R^2}\)

Bước 2: Chứng minh \(AC.AD = O{A^2} – {R^2}\)

Lời giải:

a) Kẻ OC, OD; suy ra \(OC = OD = R\)nên tam giác OCD cân tại O.

Có AB là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OBA} = 90^\circ \).

Xét tam giác OCD cân tại O có OI là đường trung tuyến (do I là trung điểm của CD) nên OI đồng thời là đường cao, do đó \(OI \bot CD\) hay \(\widehat {OIC} = \widehat {OID} = \widehat {AIE} = 90^\circ .\)

Xét 2 tam giác EOB và EAI có:

\(\widehat {OBE} = \widehat {AIE}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat E\) chung

Suy ra \(\Delta EOB\backsim \Delta EAI(g.g)\), do đó \(\frac{{EB}}{{EI}} = \frac{{EO}}{{EA}}\) hay \(EB.EA = EI.EO.\)

b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAB ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} – O{B^2} = O{A^2} – {R^2}\)

Mặt khác, \(AC.AD = \left( {AI – CI} \right)\left( {AI + DI} \right)\), mà \(DI = CI\), suy ra

\(\begin{array}{l}AC.AD = \left( {AI – CI} \right)\left( {AI + CI} \right)\\ = A{I^2} – C{I^2}\\ = A{I^2} – \left( {O{C^2} – O{I^2}} \right)\\ = A{I^2} – O{C^2} + O{I^2}\\ = A{I^2} – {R^2} + O{A^2} – A{I^2}\\ = O{A^2} – {R^2}\end{array}\)

Do đó \(A{B^2} = AC.AD\left( { = O{A^2} – {R^2}} \right)\)