Rút gọn các biểu thức đã cho. Hướng dẫn giải Giải bài 5 trang 17 SGK Toán 8 tập 1 – Cánh diều – Bài 2. Các phép tính với đa thức nhiều biến. Chứng minh rằng biểu thức…
Đề bài/câu hỏi:
a) Chứng minh rằng biểu thức \(P = 5{\rm{x}}\left( {2 – x} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.
b) Chứng minh rằng biểu thức \(Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x – 4y} \right) – 2{\rm{x}}\left( {6 – 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y
Hướng dẫn:
Rút gọn các biểu thức đã cho.
Lời giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}P = 5{\rm{x}}\left( {2 – x} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\P = 5{\rm{x}}.2 – 5{\rm{x}}.x – x.x – x.9 – 1.x – 1.9\\P = 10{\rm{x}} – 5{{\rm{x}}^2} – {x^2} – 9{\rm{x}} – x – 9\\P = – \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right)\end{array}\)
Vì \(6{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(6{{\rm{x}}^2} + 9 \ge 9,\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( – \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right) \le – 9 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x – 4y} \right) – 2{\rm{x}}\left( {6 – 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + x.x – x.4y – 2{\rm{x}}.6 – 2{\rm{x}}.\left( { – 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + {x^2} – 4{\rm{xy}} – 12{\rm{x}} + 4{\rm{xy + 12x + 1}}\\{\rm{Q = 4}}{{\rm{x}}^2} + 1\end{array}\)
Vì \({\rm{4}}{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 1 \ge 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x, y.