Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó. Trả lời Giải bài 6 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 1. Định lí Thalès trong tam giác. Trong Hình 10, cho biết \(ABCD\) là hình thang, \(AB//CD\left( {AB < CD} \right)\); \(M\) là trung điểm của \(DC\);…
Đề bài/câu hỏi:
Trong Hình 10, cho biết \(ABCD\) là hình thang, \(AB//CD\left( {AB < CD} \right)\); \(M\) là trung điểm của \(DC\); \(AM\) cắt \(BD\) ở \(I\); \(BM\) cắt \(AC\) ở \(K\); \(IK\) cắt \(AD,BC\) lần lượt ở \(E,F\). Chứng minh:
a) \(IK//AB\)
b) \(EI = IK = KF\)
Hướng dẫn:
Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Lời giải:
a) Do \(DM//AB\) nên \(\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{{DM}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AB}}\) (1) (do \(DM = MC\)).
Mặt khác, do \(MC//AB\) nên \(\frac{{MK}}{{KB}} = \frac{{MC}}{{AB}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{{MK}}{{KB}}\)
Vì thế \(IK//AB\) (định lí Thales đảo)
b) Áp dụng định lí Thales lần lượt cho các tam giác \(ADM\) với \(EI//DM\), tam giác \(MAB\) với \(IK//AB\) và tam giác \(BMC\) với \(KF//MC\), ta có:
\(\frac{{EI}}{{DM}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KF}}{{MC}}\)
Suy ra \(EI = KF\) (do \(DM = MC\)). Mặt khác, áp dụng định lí Thales lần lượt cho các tam giác \(ADM\) với \(EI//DM\) và tam giác \(AMC\) với \(IK//MC\), ta có:
\(\frac{{EI}}{{DM}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{IK}}{{MC}}\)
Suy ra \(EI = IK\) (do \(DM = MC\)). Do \(EI = KF\) và \(EI = IK\) nên \(EI = IK = KF\).