Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 1. Định lí Thalès trong tam giác. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân ở \(B\), \(ACF\) vuông cân ở \(C\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC\), \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BF\) (Hình 9). Chứng minh:
a) \(AH = AK\)
b) \(A{H^2} = A{K^2} = HB.KC\).
Hướng dẫn:
Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Lời giải:
a) Đặt \(AB = c,AC = b\). Vì \(BD//AC\) (cùng vuông góc với \(AB\)) và \(BD = AB\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\)
→ \(\frac{{AH}}{{AH + HB}} = \frac{b}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{b}{{b + c}}\)
Do đó \(AH = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (1)
Tương tự, ta có \(AB//CF\) (cùng vuông góc với \(AC\)) và \(CF = AC\) nên
\(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).
→ \(\frac{{AK}}{{KC + AK}} = \frac{c}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{c}{{b + c}}\).
Do đó \(AK = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AH = AK\).
b) Từ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{b}{c}\) và \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{c}{b}\)
→ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AK}}\).
Mà \(AK = AH\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AH}}\)
Do đó \(A{H^2} = A{K^2} = BH.KC\).