Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 20 trang 14 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
a) \(A = 4{x^2} – 4x + 23\)
b) \(B = 25{x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 2\)
Hướng dẫn:
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức.
Lời giải:
a) Ta có:
\(A = 4{x^2} – 4x + 23 = \left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) + 22 = {\left( {2x – 1} \right)^2} + 22\)
Mà \({\left( {2x – 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), suy ra \({\left( {2x – 1} \right)^2} + 22 \ge 22\) với mọi \(x\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(22\) khi \(2x – 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}B = 25{x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 2 = \left( {25{x^2} + 10x + 1} \right) + \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) – 3\\ = {\left( {5x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} – 3\end{array}\)
Mà \({\left( {5x + 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {y – 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) và \(y\), suy ra \({\left( {5x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} – 3 \ge – 3\) với mọi \(x\) và \(y\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là -3 khi \(5x + 1 = 0\) và \(y – 2 = 0\) hay \(x = – \frac{1}{5}\) và \(y = 2\).