Bài tập 5.8 trang 39 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông

Đề bài/câu hỏi:

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n’} \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0\)

Lời giải:

Đặt tên bốn mái của ngôi nhà và chọn hệ trục tọa độ như hình sau:

Giả sử hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên bằng nhau có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên \(OC = OD = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SOC vuông tại O nên \(SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} = \sqrt {{b^2} – \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} \)

Khi đó, \(O\left( {0;0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {0;\frac{{ – a\sqrt 2 }}{2};0} \right),S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} } \right)\)

\(\overrightarrow {SC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} } \right),\overrightarrow {DC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{ – a\sqrt 2 }}{2};0} \right),\overrightarrow {BC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }\\{ – 1}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ – 1}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ;\frac{{ – a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Mặt phẳng (SCD) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( { – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ;\frac{{ – a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0\)

Do đó, hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên.