Bài tập 5.7 trang 39 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x + 3y – z = 0, Q : x – y – 2z + 1 = 0

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y – z = 0,\left( Q \right):x – y – 2z + 1 = 0\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n’} \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0\).

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; – 1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; – 1; – 2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.1 + \left( { – 1} \right).3 + \left( { – 1} \right).\left( { – 2} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \). Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Điểm M thuộc trục Ox nên \(M\left( {x;0;0} \right)\).

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }}\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow 6{x^2} = 11{\left( {x + 1} \right)^2} \Rightarrow 5{x^2} + 22x + 11 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 11 – \sqrt {66} }}{5}\\x = \frac{{ – 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {\frac{{ – 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right);M\left( {\frac{{ – 11 – \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.