Bài tập 5.9 trang 39 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng \(z – 1 = 0\), mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng \(x + y + 50z – 100 = 0\). Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n’} = k\overrightarrow n \\D’ \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên phương trình mặt phẳng (Oxy) là: \(1.\left( {z – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 0\)

Mặt phẳng \(z – 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)\)

Vì \(\overrightarrow k = \overrightarrow {{n_1}} \) và \(0 \ne – 1\) nên mặt phẳng (Oxy) song song với mặt phẳng \(z – 1 = 0\).

Do đó, mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà và trần nhà tầng 1 song song với nhau.