Bài tập 5.4 trang 39 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 2;3; – 1

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y – 3z + 1 = 0\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1;2; – 3} \right)\), trục Ox có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;0;0} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 3}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 3}&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; – 3; – 2} \right)\)

Vì (P) song song với trục Ox và vuông góc với (Q) nên (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {0; – 3; – 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\) nên phương trình (P) là:

\(0\left( {x – 2} \right) – 3\left( {y – 3} \right) – 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z – 7 = 0\)