Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz. Lời giải Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài 14. Phương trình mặt phẳng. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1; – 1;5} \right)\…
Đề bài/câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1; – 1;5} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 2y – z = 0\), \(\left( R \right):x + y – z = 0\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; – 1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; – 1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}\\1&{ – 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&3\\{ – 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 1;2;1} \right)\)
Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { – 1;2;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1; – 1;5} \right)\) nên phương trình (P) là: \( – 1\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow – x + 2y + z – 2 = 0\)