Bài tập 5.2 trang 39 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’, với A 1; – 1;3 , B 0;2;4 , D 2; – 1;1 , A’ 0;1;2 . a) Tìm tọa độ các điểm C, B’

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với \(A\left( {1; – 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),\)\(D\left( {2; – 1;1} \right),A’\left( {0;1;2} \right)\).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {AB} \left( { – 1;3;1} \right),\overrightarrow {AA’} \left( { – 1;2; – 1} \right)\)

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên

+) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A’B’} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B’}} – {x_{A’}} = – 1\\{y_{B’}} – {y_{A’}} = 3\\{z_{B’}} – {z_{A’}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B’}} = – 1 + {x_{A’}} = – 1 + 0 = – 1\\{y_{B’}} = 3 + {y_{A’}} = 3 + 1 = 4\\{z_{B’}} = 1 + {z_{A’}} = 1 + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow B’\left( { – 1;4;3} \right)\)

+) \(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {DD’} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D’}} – {x_D} = – 1\\{y_{D’}} – {y_D} = 2\\{z_{D’}} – {z_D} = – 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D’}} = – 1 + {x_D} = 1\\{y_{D’}} = 2 + {y_D} = 1\\{z_{D’}} = – 1 + {z_D} = 0\end{array} \right. \Rightarrow D’\left( {1;1;0} \right)\)

+) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 = {x_C} – {x_D}\\3 = {y_C} – {y_D}\\1 = {z_C} – {z_D}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = – 1 + {x_D} = – 1 + 2 = 1\\{y_C} = 3 + {y_D} = 3 – 1 = 2\\{z_C} = 1 + {z_D} = 1 + 1 = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;2;2} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {CD’} \left( {0; – 1; – 2} \right),\overrightarrow {CB’} \left( { – 2;2;1} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {CD’} ,\overrightarrow {CB’} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 2}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&0\\1&{ – 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\{ – 2}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;4; – 2} \right)\)

Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm \(C\left( {1;2;2} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {CD’} ,\overrightarrow {CB’} } \right] = \left( {3;4; – 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:

\(3\left( {x – 1} \right) + 4\left( {y – 2} \right) – 2\left( {z – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y – 2z – 7 = 0\)