Bài tập 5.13 trang 48 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua hai điểm A 2;3; – 1 và B 1

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {2;3; – 1} \right)\) và \(B\left( {1; – 2;4} \right)\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {{x_2} – {x_1};{y_2} – {y_1};{z_2} – {z_1}} \right)\).

Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình đường thẳng tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} – {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} – {y_1}} \right)t\\z = {z_1} + \left( {{z_2} – {z_1}} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để tìm vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {2;3; – 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { – 1; – 5;5} \right)\). Do đó:

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 3 – 5t\\z = – 1 + 5t\end{array} \right.\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{5}\).