Bài tập 5.12 trang 48 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua A 2; – 1;4

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; – 1;4} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y – z – 1 = 0\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải:

Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y – z – 1 = 0\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u \left( {1;3; – 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; – 1;4} \right)\) nên:

Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = – 1 + 3t\\z = 4 – t\end{array} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 4}}{{ – 1}}\).