Bài tập 5.14 trang 48 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ _1: x = 1 + 2ty = 3 – tz = 2 + 3t . và Δ _2

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 – t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x – 8}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 2}}{2}\).

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó: \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\) .

Lời giải:

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; – 1;3} \right)\) và đi qua điểm \({A_1}\left( {1;3;2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { – 1;1;2} \right)\) và đi qua điểm \({A_2}\left( {8; – 2;2} \right)\).

Vì \(\frac{1}{8} \ne \frac{3}{{ – 2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&3\\1&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\2&{ – 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}\\{ – 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 5; – 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {7; – 5;0} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 7.\left( { – 5} \right) + \left( { – 5} \right).\left( { – 7} \right) + 0.1 = 0\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { – 5; – 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Vì mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\), \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau nên mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { – 5; – 7;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \({A_1}\left( {1;3;2} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \( – 5\left( {x – 1} \right) – 7\left( {y – 3} \right) + 1\left( {z – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow – 5x – 7y + z + 24 = 0\).