Bài tập 2.22 trang 72 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;0;1 , B 0; – 3;1 và C 4; – 1;4

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0; – 3;1} \right)\) và \(C\left( {4; – 1;4} \right)\).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = {90^0}\).

c) Tính \(\widehat {ABC}\).

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\) thì tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \). Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu \(xx’ + yy’ + zz’ = 0\)

c) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} – {z_A}} \right)}^2}} \)

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ – 4}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{{ – 4}}{3};2} \right)\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { – 1; – 3;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {3; – 1;3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { – 1} \right).3 + \left( { – 3} \right)\left( { – 1} \right) + 0.3 = 0\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \). Do đó, \(\widehat {BAC} = {90^0}\).

c) Ta có: \(BA = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ;AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {19} \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BA}} = \frac{{\sqrt {19} }}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {54^0}\)