Bài tập 2.21 trang 72 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M – 4;3;3 , N 4; – 4;2 và P 3;6; – 1

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( { – 4;3;3} \right),N\left( {4; – 4;2} \right)\) và \(P\left( {3;6; – 1} \right)\).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} – {x_M};{y_N} – {y_M};{z_N} – {z_M}} \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ không cùng phương để chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương thì ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ điểm Q: Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NQ} \)

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) thì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x’;y + y’;z + z’} \right)\)

c) Sử dụng kiến về chu vi hình bình hành để tính: Chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {MN + NP} \right)\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {4 – \left( { – 4} \right); – 4 – 3;2 – 3} \right) = \left( {8; – 7; – 1} \right),\overrightarrow {MP} \left( {7;3; – 4} \right)\)

Vì \(\frac{8}{7} \ne \frac{{ – 7}}{3} \ne \frac{{ – 1}}{{ – 4}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b)

Ta có: \(\overrightarrow {NM} \left( { – 8;7;1} \right),\overrightarrow {NP} \left( { – 1;10; – 3} \right)\).

Suy ra: \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \left( {\left( { – 8} \right) + \left( { – 1} \right);7 + 10;1 – 3} \right) = \left( { – 9;17; – 2} \right)\)

Gọi tọa độ điểm Q là Q(x; y; z), ta có: \(\overrightarrow {NQ} \left( {x – 4;y + 4;z – 2} \right)\)

Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NQ} \)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 4 = – 9\\y + 4 = 17\\z – 2 = – 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 5\\y = 13\\z = 0\end{array} \right.\). Vậy \(Q\left( { – 5;13;0} \right)\)

c) Ta có: \(NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 8} \right)}^2} + {7^2} + {1^2}} = \sqrt {114} \), \(NP = \left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {110} \)

Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {NP + NM} \right) = 2\left( {\sqrt {114} + \sqrt {110} } \right)\)