Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Vận dụng kiến thức giải Giải bài tập 1.21 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:a) \(y = – {x^3} + 3x + 1\);b) \(y = {x^3} + 3{x^2} – x – 1\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = – 3{x^2} + 3,y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\), \(y’ > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại \({y_{CĐ}}=3\) . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = – 1\)
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {{x^3}\left( { – 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { – {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { – 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = – \infty \)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = – {x^3} + 3x + 1\) với trục tung là (0; 1).
Các điểm (1; 3); \(\left( { – 1; – 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = – {x^3} + 3x + 1\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).
b) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 6x – 1,y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 – 2\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ – 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\)
Trên khoảng \(\left( {\frac{{ – 3 – 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ – 3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\), \(y’ 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{ – 3 – 2\sqrt 3 }}{3}\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ – 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = \frac{{18 – 16\sqrt 3 }}{9}\).
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} – x – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} – \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = – \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} – x – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} – \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – x – 1\) với trục tung là (0; -1).
Các điểm (-1; 2); \(\left( {1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – x – 1\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).