Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 SGK Toán 12 - Kết nối tri thức Giải mục 1 trang 26, 27 Toán 12 tập 1 – Kết...

Giải mục 1 trang 26, 27 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Cho hàm số y = x^2 – 4x + 3. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó y’ = 0

Tính y’. Giải phương trình \(y’ = 0\). b) Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến. Giải chi tiết Giải mục 1 trang 26, 27 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Sơ đồ khảo sát hàm số…

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(y = {x^2} – 4x + 3\). Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó \(y’ = 0\).

b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y\) và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Hướng dẫn:

a) Tính y’. Giải phương trình \(y’ = 0\).

b) Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu \(f’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu \(f’\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng K.

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để tìm cực trị hàm số: Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

+ Nếu \(f’\left( x \right) 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu \(f’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f’\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x).

d) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) nhận đường thẳng \(x = \frac{{ – b}}{{2a}}\) làm trục đối xứng.

Lời giải:

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(y’ = 2x – 4,y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy với \(x = 2\) thì \(y’ = 0\).

b) Trên khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\), \(y’ 0\) nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,\) giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = – 1\). Hàm số không có cực đại.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {{x^2} – 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} – 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)

Bảng biến thiên:

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4x + 3\) với trục tung là \(\left( {0;3} \right)\).

Ta có: \({x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( {3;0} \right);\left( {1;0} \right)\).

Điểm \(\left( {4;3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4x + 3\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm trục đối xứng.

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4x + 3\) với trục tung là \(\left( {0;3} \right)\).

Ta có: \({x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( {3;0} \right);\left( {1;0} \right)\).

Điểm \(\left( {4;3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4x + 3\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm trục đối xứng.