Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Hướng dẫn trả lời Giải bài tập 1.2 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1\);
b) \(y = – {x^3} + 2{x^2} – 5x + 3\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y’ = {x^2} – 4x + 3,y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y’ = – 3{x^2} + 4x – 5\)
Vì \( – 3{x^2} + 4x – 5 = – 3\left( {{x^2} – 2.\frac{2}{3}.x + \frac{4}{9}} \right) – \frac{{11}}{3} = – 3{\left( {x – \frac{2}{3}} \right)^2} – \frac{{11}}{3} < 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó, \(y’ < 0\;\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(y = – {x^3} + 2{x^2} – 5x + 3\) nghịch biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\).