Bài tập 1.3 trang 13 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x – 1/x + 2; b) y = x^2 + x + 4/x – 3

Đề bài/câu hỏi:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}\);

b) \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x – 3}}\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét khoảng đồng biến của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\).

Ta có: \(y’ = \frac{{2\left( {x + 2} \right) – \left( {2x – 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 4 – 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{\left( {x + 2} \right)}} > 0\;\forall x \ne – 2\)

Do đó, hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}\) đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( { – 2; + \infty } \right)\).

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Ta có: \(y’ = \frac{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)’\left( {x – 3} \right) – \left( {{x^2} + x + 4} \right)\left( {x – 3} \right)’}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 3} \right) – {x^2} – x – 4}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 6x – 7}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 6x – 7}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = – 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x – 3}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;3} \right)\) và \(\left( {3;7} \right)\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x – 3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( {7; + \infty } \right)\).