Hướng dẫn giải Câu hỏi Thực hành 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Giải mục 2 trang 48 – 49 – 50 – 51 – 52 – 53 SGK Toán 12 tập 2. Tham khảo: Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a\) và một điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d. \.
Câu hỏi/Đề bài:
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 – t\\z = 2 – 3t\end{array} \right.\) và \(d’:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.\)
b) \(d:\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}\) và \(d’:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{9}.\)
Hướng dẫn:
Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a\) và một điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d.\)
Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a’\) và một điểm \(M’\) nằm trên đường thẳng \(d’.\)
Tính tích có hướng \(\left[ {\vec a,\vec a’} \right]\), sau đó tính tích vô hướng \(\left[ {\vec a,\vec a’} \right].\overrightarrow {MM’} \). Nếu tích vô hướng bằng 0, hai đường thẳng cắt nhau, ngược lại thì hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {2; – 1; – 3} \right)\).
Đường thẳng \(d’\) đi qua \(M’\left( {2;0; – 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a’ = \left( {4;7;11} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a’} \right] = \left( {10; – 34;18} \right)\) và \(\overrightarrow {MM’} = \left( {2; – 1; – 3} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a’} \right].\overrightarrow {MM’} = 10.2 + \left( { – 34} \right)\left( { – 1} \right) + 18.\left( { – 3} \right) = 0\).
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) cắt nhau.
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {4;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d’\) đi qua \(M’\left( {2;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a’ = \left( {3;2;9} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a’} \right] = \left( {14; – 3; – 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MM’} = \left( { – 2;0;0} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a’} \right].\overrightarrow {MM’} = 14.\left( { – 2} \right) + \left( { – 3} \right).0 + \left( { – 4} \right).0 = – 28 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) chéo nhau.