Lời giải Câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân. Gợi ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\.
Câu hỏi/Đề bài:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} – 2x – 1\), \(y = x – 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\).
Hướng dẫn:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) – {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} – 2x – 1\), \(y = x – 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) là:
\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {{x^2} – 2x – 1} \right) – \left( {x – 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} – 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} – 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} – 3x} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} – 3x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^2} – 3x} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4} \right| = \left| {\frac{{ – 9}}{2} – \frac{{ – 7}}{6}} \right| + \left| {\frac{{ – 8}}{3} – \frac{{ – 9}}{2}} \right| = \left| { – \frac{{10}}{3}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = \frac{{31}}{6}\)