Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\. Giải chi tiết Giải bài tập 4 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {x^3} + 1),…
Đề bài/câu hỏi:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^3} + 1\), \(y = 2\) và hai đường thẳng \(x = – 1\), \(x = 2\).
Hướng dẫn:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^3} + 1\), \(y = 2\) và hai đường thẳng \(x = – 1\), \(x = 2\) là \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( {{x^3} + 1} \right) – 2} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} \)
Ta có \({x^3} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Do đó:
\(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 1} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – 1} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – x} \right)} \right|_{ – 1}^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – x} \right)} \right|_1^2} \right| = \left| { – 2} \right| + \left| {\frac{{11}}{4}} \right| = \frac{{19}}{4}\)