Tính diện tích mặt cắt \(S\left( x \right)\), sau đó tính thể tích vật thể bằng công thức \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \). Hướng dẫn giải Giải bài tập 5 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân. Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục (Ox) tại điểm có hoành…
Đề bài/câu hỏi:
Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( { – 2 \le x \le 2} \right)\), mặt cắt là tam giác vuông có một góc \({45^o}\) và độ dài một cạnh góc vuông là \(\sqrt {4 – {x^2}} \) (dm). Tính thể tích của vật thể.
Hướng dẫn:
Tính diện tích mặt cắt \(S\left( x \right)\), sau đó tính thể tích vật thể bằng công thức \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \).
Lời giải:
Vì mặt cắt là một tam giác vuông có một góc \({45^o}\), nên mặt cắt là tam giác vuông cân. Do đó diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)}^2}}}{2} = \frac{{4 – {x^2}}}{2}\).
Thể tích vật thể là:
\(V = \int\limits_{ – 2}^2 {\frac{{4 – {x^2}}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 2}^2 {\left( {4 – {x^2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left. {\left( {4x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 2}^2 = \frac{{16}}{3}\)