Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\). Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài tập 2 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = {x^3} – x),…
Đề bài/câu hỏi:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} – x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Hướng dẫn:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} – x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là: \(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – x} \right|dx} \)
Ta có \({x^3} – x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1\).
Do đó,
\(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – x} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3} – x} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} – x} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ – 1}^0 {\left( {{x^3} – x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} – x} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| + \left| { – \frac{1}{2}} \right| = 1\)