Câu hỏi trang 59 Toán 12 tập 2 – Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với → n = (A;B;C) là vecto pháp tuyến

Đề bài/câu hỏi:

Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) là vecto pháp tuyến. Cho điểm \({M_0}(2;3;4)\). Gọi \(H({x_H};{y_H};{z_H})\) là hình chiếu vuông góc của điểm \({M_0}\) trên mặt phẳng (P) (Hình 16)

a) Tính tọa độ của \(\overrightarrow {H{M_0}} \) theo \({x_H},{y_H},{z_H}\)

b) Nêu nhận xét về phương của hai vecto \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {H{M_0}} \). Từ đó, hãy suy ra rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\)

c) Tính các độ dài \(\left| {\overrightarrow n } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|\) theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm \({M_0}(2;3;4)\) đến mặt phẳng (P)

Hướng dẫn:

a) \(A({a_1};{a_2};{a_3}),B({b_1};{b_2};{b_3}) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ({b_1} – {a_1};{b_2} – {a_2};{b_3} – {a_3})\)

b) Sử dụng các công thức tính tích vô hướng của hai vecto

c) Sử dụng công thức tính độ dài của vecto. Áp dụng kết quả phần b)

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {H{M_0}} = (2 – {x_H};3 – {y_H};4 – {z_H})\)

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên mặt phẳng (P) nên 2 vecto \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \) cùng phương

Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {H{M_0}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|\)

Lại có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} = A(2 – {x_H}) + B(3 – {y_H}) + C(4 – {z_H}) = A.2 + B.3 + C.4 + ( – A{x_H} – B{y_H} – C{z_H}) = A.2 + B.3 + C.4 + D\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\)

c) \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)

\(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Vậy công thức tính khoảng cách từ điểm \({M_0}(2;3;4)\) đến mặt phẳng (P) là \(d({M_0};(P)) = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)