B1: Tìm các điểm \({x_1}, {x_2}, . . . , {x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 1 – Cánh diều – Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\)
b) \(f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^3} + {x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\)
c) \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)\
d) \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]\)
Hướng dẫn:
B1: Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
B2: Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)\)
B3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và kết luận
Lời giải:
a) Ta có: \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3x\).
Nhận xét \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( { – 1} \right) = – \frac{5}{2};f\left( 0 \right) = 0;f\left( 1 \right) = – \frac{1}{2};f\left( 2 \right) = 2\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{ – 5}}{2}\) khi \(x = – 1\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2\) khi \(x = 2\) .
b) Ta có: \(f’\left( x \right) = 4{x^3} – 6{x^2} + 2x\).
Nhận xét \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( { – 1} \right) = 5;f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{{16}};f\left( 1 \right) = 1\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^3} + {x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(1\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\) và có giá trị lớn nhất bằng \(5\) khi \(x = – 1\) .
c) Ta có: \(f’\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\).
Nhận xét \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( 2 \right) = {e^2};f\left( 0 \right) = 7;f\left( 3 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = 3e\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(7\) khi \(x = 0\) và có giá trị lớn nhất bằng \({e^3}\) khi \(x = 3\).
d) Ta có: \(f’\left( x \right) = – 2\sin 2x + 2\).
Nhận xét \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\).
Ta có \(f\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = – \pi ;f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2};f\left( \pi \right) = 2 + 2\pi \)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( – \pi \) khi \(x = – \frac{\pi }{2}\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2 + 2\pi \) khi \(x = \pi \)