Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài 1.43 trang 31 SBT toán 12 – Kết nối tri thức:...

Bài 1.43 trang 31 SBT toán 12 – Kết nối tri thức: Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2000 cm3

Đặt độ dài cạnh đáy là \(x\). + Biểu diễn chiều cao của hộp theo \(x\). Hướng dẫn giải Giải bài 1.43 trang 31 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn. Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là \(2000\) cm3….

Đề bài/câu hỏi:

Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là \(2000\) cm3. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

+ Đặt độ dài cạnh đáy là \(x\).

+ Biểu diễn chiều cao của hộp theo \(x\).

+ Suy ra công thức tính diện tích toàn phần của hộp.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích đó.

Lời giải:

Gọi cạnh đáy của hình hộp là \(x\) cm, \(x > 0\).

Do thể tích chiếc hộp là \(2000\) cm3 nên chiều cao chiếc hộp là \(\frac{{2000}}{{{x^2}}}\) (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt chiếc hộp là \(S = 2{x^2} + 4x \cdot \frac{{2000}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{8000}}{x},{\rm{ }}x > 0\).

Lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp nhỏ nhất khi tổng diện tích bề mặt chiếc hộp nhỏ nhất hay \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(S’ = {\left( {2{x^2} + \frac{{8000}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{4{x^3} – 8000}}{{{x^2}}}\) khi đó \(S’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{4{x^3} – 8000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{2}\).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 10\sqrt[3]{2}\), khi đó \(\frac{{2000}}{{{x^2}}} = \frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\).

Vậy khi hộp có cạnh đáy \(10\sqrt[3]{2}\) cm và chiều cao là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\) cm thì lượng vật liệu dùng để sản xuất hộp nhỏ nhất.