Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn biểu diễn khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA. Lời giải Giải bài 1.44 trang 31 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn. Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng \(3\) km,…
Đề bài/câu hỏi:
Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng \(3\) km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P \(12\) km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc \(2,5\) km/h và đi bộ với vận tốc \(4\) km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?
Hướng dẫn:
+ Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn biểu diễn khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA.
+ Biểu diễn tổng quãng đường mà người đó phải di chuyển theo x từ đó biểu diễn tổng thời gian
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng thời gian đó (đưa về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn đã học).
Lời giải:
Gọi \(x\) là khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA (\(0 \le x \le 12\)).
Khi đó khoảng cách từ hòn đảo đến nơi chèo thuyền là \({\left( {12 – x} \right)^2} + 9\) (km).
Thời gian người đó đi từ hòn đảo đến thị trấn là \(T = \frac{{{{\left( {12 – x} \right)}^2} + 9}}{{2,5}} + \frac{x}{4}\) (giờ).
Thời gian ngắn nhất để người đó đi từ hòn đảo đến thị trấn là giá trị nhỏ nhất của \(T\) trên \(\left[ {0;12} \right]\).
Ta có \(T’ = – \frac{{2\left( {12 – x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4}\) khi đó \(T’ = 0 \Leftrightarrow – \frac{{2\left( {12 – x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{187}}{{16}}\).
Mặt khác \(T\left( 0 \right) = \frac{{306}}{5} = 61,2\); \(T\left( {12} \right) = \frac{{33}}{5} = 6,6\); \(T\left( {\frac{{187}}{{16}}} \right) = \frac{{4199}}{{640}} \approx 6.56\).
Suy ra \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = \frac{{187}}{{16}}\).
Vậy người đó cần neo thuyền tại vị trí các thị trấn \(\frac{{187}}{{16}} \approx 11,6975\) km để thời gian đi lại là ngắn nhất.