‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài 9 trang 32 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{{\rm{x}} – 1}}\) a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{{\rm{x}} – 1}}\)
a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M’\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} – t\) và \({x_{M’}} = {x_I} + t\). So sánh các tung độ \({y_M}\) và \({y_{M’}}\).
Từ đó, suy ra rằng hai điểm \(M\) và \(M’\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Hướng dẫn:
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\)
‒ Để chứng minh rằng hai điểm \(M\) và \(M’\) đối xứng với nhau qua \(I\), ta chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MM’\).
Lời giải:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{{\rm{x}} – 1}}} \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{{\rm{x}} – 1}}} \right) = + \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} – 1} \right)}} = 1\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{{\rm{x}} – 1}} – x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} – 2}}{{x – 1}} = 3\)
Vậy đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy \(I\left( {1;4} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Ta có: \({x_M} = {x_I} – t = 1 – t \Rightarrow {y_M} = \frac{{x_M^2 + 2{{\rm{x}}_M} – 2}}{{{{\rm{x}}_M} – 1}} = \frac{{{{\left( {1 – t} \right)}^2} + 2\left( {1 – t} \right) – 2}}{{\left( {1 – t} \right) – 1}} = \frac{{ – {t^2} + 4t – 1}}{t}\)
\({x_{M’}} = {x_I} + t = 1 + t \Rightarrow {y_{M’}} = \frac{{x_{M’}^2 + 2{{\rm{x}}_{M’}} – 2}}{{{{\rm{x}}_{M’}} – 1}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) – 2}}{{\left( {1 + t} \right) – 1}} = \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t}\)
Vì:
\(\begin{array}{l}{x_M} + {x_{M’}} = \left( {{x_I} – t} \right) + \left( {{x_I} + t} \right) = 2{x_I};\\{y_M} + {y_{M’}} = \frac{{ – {t^2} + 4t – 1}}{t} + \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t} = \frac{{\left( { – {t^2} + 4t – 1} \right) + \left( {{t^2} + 4t + 1} \right)}}{t} = 8 = 2{y_I}\end{array}\)
nên \(I\) là trung điểm của \(MM’\).
Vậy hai điểm \(M\) và \(M’\) đối xứng với nhau qua \(I\).