‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Trả lời Giải bài 11 trang 32 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản. Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} – m}}{{x – 1}}) ((m) là tham số)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – m}}{{x – 1}}\) (\(m\) là tham số).
a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Chứng tỏ rằng khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
Hướng dẫn:
‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm
\(\begin{array}{l}y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} – m} \right)}^\prime }\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} – m} \right){{\left( {x – 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} – m} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2{\rm{x}} + m – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình \({x^2} – 2{\rm{x}} + m – 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – \left( {m – 2} \right) > 0\\{1^2} – 2.1 + m – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 – m > 0\\m – 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\).
Vậy với \(m < 3\) thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Vì \(m = 2\) thoả mãn điều kiện \(m < 3\) nên khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị.
Với \(m = 2\) hàm số có dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} – 2}}{{x – 1}}\)
Đạo hàm \(y’ = \frac{{{x^2} – 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}};y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 2\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và ${{y}_{CĐ}}=2$.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\).
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = ax + b\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = 2x + 2\).