‒ Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{c{\rm{x}} + d}}\left( {a{\rm{d}} – bc \ne 0} \right)\. Trả lời Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản. Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m – 1} \right)x – 2}}{{m – 2 – x}}\) (\(m\) là tham số)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m – 1} \right)x – 2}}{{m – 2 – x}}\) (\(m\) là tham số). Tìm điều kiện của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ \(Oxy\).
Hướng dẫn:
‒ Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{c{\rm{x}} + d}}\left( {a{\rm{d}} – bc \ne 0} \right)\) có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ \(Oxy\) thì hàm số nghịch biến, có tiệm cận đứng không nằm bên trái trục \(Oy\) và có tiệm cận ngang không nằm bên dưới trục \(Ox\).
Lời giải:
Ta có: \(y’ = \frac{{\left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right) – \left( { – 2} \right).\left( { – 1} \right)}}{{{{\left( {m – 2 – x} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} – 3m}}{{{{\left( {m – 2 – x} \right)}^2}}}\)
Hàm số có đường thẳng \(x = m – 2\) là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 1 – m\) là tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ \(Oxy\) thì hàm số nghịch biến, có tiệm cận đứng không nằm bên trái trục \(Oy\) và có tiệm cận ngang không nằm bên dưới trục \(Ox\), tức là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 3m < 0\\c = – 1 \ne 0\\1 – m \ge 0\\m – 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 3\\m \le 1\\m \ge 2\end{array} \right.\)
Do đó không có giáo trị nào của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ \(Oxy\).