Đưa về xét hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 7 trang 11 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chứng minh rằng a) (tan x > x) với mọi (x in left( {0;frac{pi }{2}} right));…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng
a) \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\);
b) \(\ln x \le x – 1\) với mọi \(x > 0\).
Hướng dẫn:
Đưa về xét hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.
Lời giải:
a) Đặt \(f\left( x \right) = \tan x – x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1 = \frac{{1 – {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Bảng biến thiên:
Do đó \(f’\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Suy ra \(\tan x – x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Vậy \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
b) Đặt \(f\left( x \right) = \ln x – x + 1\) với mọi \(x > 0\).
Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{x} – 1 = \frac{{1 – x}}{x};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó \(f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 0\) với mọi \(x > 0\).
Suy ra \(\ln x – x + 1 \le 0\) với mọi \(x > 0\).
Vậy \(\ln x \le x – 1\) với mọi \(x > 0\).