Bài 5 trang 10 SBT toán 12 – Chân trời sáng tạo: Tìm m để a) Hàm số y = 2x + m/x – 1 đồng biến trên từng khoảng xác định

Đề bài/câu hỏi:

Tìm \(m\) để

a) Hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} + m}}{{{\rm{x}} – 1}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định.

b) Hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + 3{\rm{x}} + m}}{{{\rm{x}} + 2}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.

Bước 3: Đánh giá tính đồng biến, nghịch biến.

Lời giải:

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y’ = \frac{{ – 2 – m}}{{{{\left( {{\rm{x}} – 1} \right)}^2}}}\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi \(y’ = \frac{{ – 2 – m}}{{{{\left( {{\rm{x}} – 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

\( \Leftrightarrow – 2 – m > 0 \Leftrightarrow m < – 2\).

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y’ = \frac{{{{\left( { – {x^2} + 3{\rm{x}} + m} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} + 2} \right) – \left( { – {x^2} + 3{\rm{x}} + m} \right){{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { – 2x + 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 2} \right) – \left( { – {x^2} + 3{\rm{x}} + m} \right)}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ – {x^2} – 4{\rm{x}} – m + 6}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi \(y’ = \frac{{ – {x^2} – 4{\rm{x}} – m + 6}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow – {x^2} – 4{\rm{x}} – m + 6 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1 < 0\\\Delta ' = {\left( { – 2} \right)^2} – \left( { – 1} \right).\left( { – m + 6} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow – m + 10 \le 0 \Leftrightarrow m \ge 10\end{array}\)