Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\): Bước 1. Tìm tập xác định \(D\. Hướng dẫn giải Giải bài 3 trang 10 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} – 2}});…
Đề bài/câu hỏi:
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} – 2}}\);
b) \(y = \frac{{2{\rm{x}} – 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\);
c) \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \);
d) \(y = x – \ln {\rm{x}}\).
Hướng dẫn:
Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f’\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f’\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Lời giải:
a) Xét hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} – 2}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có \(y’ = \frac{{ – 7}}{{{{\left( {{\rm{x}} – 2} \right)}^2}}} < 0\).
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị.
b) Xét hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} – 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{1}{3}} \right\}\).
Ta có \(y’ = \frac{{17}}{{{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
c) Xét hàm số \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \).
Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\).
Ta có \(y’ = \frac{{{{\left( {4 – {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 – {x^2}} }} = \frac{{ – 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {4 – {x^2}} }} = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }};y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;0} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại $x=0,{{y}_{CĐ}}=2$.
d) Xét hàm số \(y = x – \ln {\rm{x}}\).
Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(y’ = 1 – \frac{1}{x};y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} = 1\).