‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right)\). Trả lời Giải bài 4 trang 71 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(A\left( {5;7; – 4} \right),B\left( {6;8; – 3} \right),C\left( {6;7; – 3} \right),D’\left( {3;0;3} \right)\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(A\left( {5;7; – 4} \right),B\left( {6;8; – 3} \right),C\left( {6;7; – 3} \right),D’\left( {3;0;3} \right)\). Tìm toạ độ các đỉnh \(D\) và \(A’\).
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right)\).
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
Lời giải:
Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\). Ta có
\(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} – 5;{y_D} – 7;{z_D} + 4} \right)\).
\(\overrightarrow {BC} = \left( {6 – 6;7 – 8;\left( { – 3} \right) – \left( { – 3} \right)} \right) = \left( {0; – 1;0} \right)\).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} – 5 = 0\\{y_D} – 7 = – 1\\{z_D} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = 6\\{z_D} = – 4\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {5;6; – 4} \right)\).
Giả sử \(A’\left( {{x_{A’}};{y_{A’}};{z_{A’}}} \right)\). Ta có
\(\overrightarrow {AA’} = \left( {{x_{A’}} – 5;{y_{A’}} – 7;{z_{A’}} + 4} \right)\).
\(\overrightarrow {DD’} = \left( {3 – 5;0 – 6;3 – \left( { – 4} \right)} \right) = \left( { – 2; – 6;7} \right)\).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A’}} – 5 = – 2\\{y_{A’}} – 7 = – 6\\{z_{A’}} + 4 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A’}} = 3\\{y_{A’}} = 1\\{z_{A’}} = 3\end{array} \right.\). Vậy \(A’\left( {3;1;3} \right)\).