‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\. Hướng dẫn trả lời Giải bài 4 trang 22 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}});…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}}\);
b) \(y = \sqrt {{x^2} – 16} \).
Hướng dẫn:
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\)
Lời giải:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3;1} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}} = – \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}} = + \infty \)
Vậy \(x = – 3,x = 1\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x – 3}} = 1\)
Vậy \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Tập xác định: \(D = \left( { – \infty ; – 4} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ – }} \sqrt {{x^2} – 16} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ + }} \sqrt {{x^2} – 16} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \sqrt {{x^2} – 16} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt {{x^2} – 16} = 0\)
Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 16} }}{x} = 1\) và
\(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} – 16} – x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} – 16} – x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} – 16} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} – 16} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 16}}{{\sqrt {{x^2} – 16} + x}} = 0\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 16} }}{x} = – 1\) và
\(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} – 16} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} – 16} – x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} – 16} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} – 16} – x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 16}}{{\sqrt {{x^2} – 16} – x}} = 0\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(y = – x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.