‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 2 trang 22 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{x – 5}}{{2{rm{x}} + 1}});…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x – 5}}{{2{\rm{x}} + 1}}\);
b) \(y = \frac{{2{\rm{x}}}}{{x – 3}}\);
c) \(y = – \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}\).
Hướng dẫn:
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
Lời giải:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{1}{2}}^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{1}{2}}^ – }} \frac{{x – 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{x – 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} = – \infty \)
Vậy \(x = – \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x – 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x – 3}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x – 3}} = + \infty \)
Vậy \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{\rm{x}}}}{{x – 3}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2{\rm{x}}}}{{x – 3}} = 2\)
Vậy \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{2}{3}} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{2}{3}}^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{2}{3}}^ – }} \left( { – \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{2}{3}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{2}{3}}^ + }} \left( { – \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) = – \infty \)
Vậy \(x = – \frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { – \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) = – 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) = – 2\)
Vậy \(y = – 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.