‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\). Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 3 trang 96 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Một công ty du lịch ghi lại độ tuổi các du khách đặt một tour du lịch mạo hiểm ở…
Đề bài/câu hỏi:
Một công ty du lịch ghi lại độ tuổi các du khách đặt một tour du lịch mạo hiểm ở bảng sau:
a) Hãy so sánh độ phân tán của độ tuổi du khách nam và du khách nữ theo khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
b) Biết rằng trong mẫu số liệu trên có một du khách nữ 49 tuổi. Hỏi độ tuổi của du khách nữ đó có là giá trị ngoại lệ khi so với độ tuổi của các du khách nữ không?
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} – C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)
trong đó:
• \(n = {n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) là cỡ mẫu;
• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\).
‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}\).
‒ Nếu \({Q_3} + 1,5\Delta Q < a\) thì giá trị \(a\) là giá trị ngoại lệ.
Lời giải:
a) • Độ phân tán của độ tuổi du khách nam:
\({n_N} = 25 + 38 + 20 + 12 + 7 + 2 = 104\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \({R_N} = 55 – 25 = 30\) (tuổi).
Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{104}}\) là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi 104 du khách nam đặt một tour du lịch mạo hiểm theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{26}} + {x_{27}}} \right) \in \left[ {30;35} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{N1}} = 30 + \frac{{\frac{{1.104}}{4} – 25}}{{38}}\left( {35 – 30} \right) = \frac{{1145}}{{38}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{78}} + {x_{79}}} \right) \in \left[ {35;40} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{N3}} = 35 + \frac{{\frac{{3.104}}{4} – \left( {25 + 38} \right)}}{{20}}\left( {40 – 35} \right) = \frac{{155}}{4}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_N} = {Q_{N3}} – {Q_{N1}} = \frac{{155}}{4} – \frac{{1145}}{{38}} = \frac{{655}}{{76}} \approx 8,62\) (tuổi).
• Độ phân tán của độ tuổi du khách nữ:
\({n_{Nu}} = 24 + 20 + 15 + 0 + 1 + 0 = 60\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \({R_{Nu}} = 50 – 25 = 25\) (tuổi).
Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{60}}\) là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi 60 du khách nữ đặt một tour du lịch mạo hiểm theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in \left[ {25;30} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{Nu1}} = 25 + \frac{{\frac{{1.60}}{4} – 0}}{{24}}\left( {30 – 25} \right) = \frac{{225}}{8}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{45}} + {x_{46}}} \right) \in \left[ {35;40} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{Nu3}} = 35 + \frac{{\frac{{3.60}}{4} – \left( {24 + 20} \right)}}{{15}}\left( {40 – 35} \right) = \frac{{106}}{3}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_{Nu}} = {Q_{Nu3}} – {Q_{Nu1}} = \frac{{106}}{3} – \frac{{225}}{8} = \frac{{173}}{{24}} \approx 7,21\) (tuổi).
Do đó:
‒ Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì độ tuổi du khách nam phân tán hơn độ tuổi du khách nữ.
‒ Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì độ tuổi du khách nam phân tán hơn độ tuổi du khách nữ.
b) Với số liệu ghép nhóm của du khách nữ, ta có:
\({Q_{Nu3}} + 1,5\Delta {Q_{Nu}} = \frac{{106}}{3} + 1,5.\frac{{173}}{{24}} = \frac{{2215}}{{48}} \approx 46,15 < 49\).
Do đó độ tuổi của du khách nữ đó là giá trị ngoại lệ khi so với độ tuổi của các du khách nữ.