Bài 2 trang 96 SBT toán 12 – Chân trời sáng tạo: Bảng sau cho biết thời gian hoàn thành cự li đi bộ 10000 m của một số học sinh

Đề bài/câu hỏi:

Bảng sau cho biết thời gian hoàn thành cự li đi bộ 10000 m của một số học sinh:

Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Hướng dẫn:

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\).

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} – C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)

trong đó:

• \(n = {n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) là cỡ mẫu;

• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);

• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);

• \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\).

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}\).

Lời giải:

\(n = 5 + 12 + 18 + 24 + 19 = 78\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(R = 95 – 70 = 25\) (phút).

Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{78}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian hoàn thành cự li đi bộ 10000 m của 78 học sinh theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{20}} \in \left[ {80;85} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{1.78}}{4} – \left( {5 + 12} \right)}}{{18}}\left( {85 – 80} \right) = \frac{{2905}}{{36}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{59}} \in \left[ {85;90} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 85 + \frac{{\frac{{3.78}}{4} – \left( {5 + 12 + 18} \right)}}{{24}}\left( {90 – 85} \right) = \frac{{4315}}{{48}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{4315}}{{48}} – \frac{{2905}}{{36}} = \frac{{1325}}{{144}} \approx 9,2\) (phút).