‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\. Gợi ý giải Giải bài 50 trang 23 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} – 7}}{{6 – 3{\rm{x}}}}\) là: A….
Đề bài/câu hỏi:
Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} – 7}}{{6 – 3{\rm{x}}}}\) là:
A. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\).
B. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = \frac{7}{2}\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = – \frac{2}{3}\).
C. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{2}{3}\).
D. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = – \frac{2}{3}\).
Hướng dẫn:
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
Lời giải:
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{2{\rm{x}} – 7}}{{6 – 3{\rm{x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( { – \frac{2}{3} – \frac{3}{{6 – 3{\rm{x}}}}} \right) = – \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2{\rm{x}} – 7}}{{6 – 3{\rm{x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { – \frac{2}{3} – \frac{3}{{6 – 3{\rm{x}}}}} \right) = + \infty \)
Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{\rm{x}} – 7}}{{6 – 3{\rm{x}}}} = – \frac{2}{3};\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2{\rm{x}} – 7}}{{6 – 3{\rm{x}}}} = – \frac{2}{3}\)
Vậy \(y = – \frac{2}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Chọn D.