Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm. Phân tích và giải Giải bài 41 trang 19 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:
a) \(y = – \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\);
b) \(y = {x^4} – 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}\);
d) \(y = x + \frac{4}{{x – 1}}\) trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\).
Hướng dẫn:
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải:
a) Xét hàm số \(y = – \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = – {x^2} – 2{\rm{x}} + 3\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\), \(y’ = 0\) khi \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}\) tại \(x = 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
b) Xét hàm số \(y = {x^4} – 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} – 16{\rm{x}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\), \(y’ = 0\) khi \(x = 0,x = – 2,x = 2\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10\) tại \(x = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{\left( { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = – 6\) tại \(x = \pm 2\).
c) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Ta có: \(y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {{x^2} – 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {{x^2} – 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, \(y’ = 0\) khi \(x = 0\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = – 1\) tại \(x = 0\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
d) Xét hàm số \(y = x + \frac{4}{{x – 1}}\) trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 1 – \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2{\rm{x}} – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\), \(y’ = 0\) khi \(x = – 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { – \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = – 3\) tại \(x = – 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\).