Bài 42 trang 19 SBT toán 12 – Cánh diều: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1\

Đề bài/câu hỏi:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} + 3{{\rm{x}}^2} – 12{\rm{x}} + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 1;5} \right]\);

b) \(y = {\left( {x – \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{1}{2};2} \right]\);

c) \(y = {x^5} – 5{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^3} + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\);

d) \(y = x + \frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\);

e) \(y = \sqrt {x – 1} + \sqrt {3 – x} \);

g) \(y = x\sqrt {16 – {x^2}} \).

Hướng dẫn:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải:

a) Ta có: \(y’ = 6{x^2} + 6{\rm{x}} – 12\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – 1;5} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = 1\).

\(y\left( { – 1} \right) = 14;y\left( 1 \right) = – 6;y\left( 5 \right) = 266\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} y = 266\) tại \(x = 5\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} y = – 6\) tại \(x = 1\).

b) \(y = {\left( {x – \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = {\left[ {\left( {x – \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} = {\left( {{x^2} – 2} \right)^2} = {x^4} – 4{{\rm{x}}^2} + 4\)

Ta có: \(y’ = 4{{\rm{x}}^3} – 8{\rm{x}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – \frac{1}{2};2} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = 0,x = \sqrt 2 \).

\(y\left( { – \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{{16}};y\left( 0 \right) = 4;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;y\left( 2 \right) = 4\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{1}{2};2} \right]} y = 4\) tại \(x = 0,{\rm{x}} = 4\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \frac{1}{2};2} \right]} y = 0\) tại \(x = \sqrt 2 \).

c) Ta có: \(y’ = 5{{\rm{x}}^4} – 20{{\rm{x}}^3} + 15{{\rm{x}}^2}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = 0,x = 1\).

\(y\left( { – 1} \right) = – 10;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = 2;y\left( 2 \right) = – 7\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = 2\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = – 10\) tại \(x = – 1\).

d) Ta có: \(y’ = 1 – \frac{4}{{{x^2}}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\), \(y’ = 0\) không có nghiệm.

\(y\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3};y\left( 4 \right) = 5\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = 5\) tại \(x = 4\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = \frac{{13}}{3}\) tại \(x = 3\).

e) Hàm số có tập xác định là \(\left[ {1;3} \right]\).

Ta có: \(y’ = \frac{1}{{\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{\sqrt {3 – x} }}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = 2\).

\(y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2\) tại \(x = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = \sqrt 2 \) tại \(x = 1,x = 3\).

g) Hàm số có tập xác định là \(\left[ { – 4;4} \right]\).

Ta có: \(y’ = {\left( x \right)^\prime }\sqrt {16 – {x^2}} + x.{\left( {\sqrt {16 – {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {16 – {x^2}} + x.\frac{{ – x}}{{\sqrt {16 – {x^2}} }} = \frac{{16 – 2{x^2}}}{{\sqrt {16 – {x^2}} }}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – 4;4} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = – 2\sqrt 2 ,x = 2\sqrt 2 \).

\(y\left( { – 4} \right) = 0;y\left( { – 2\sqrt 2 } \right) = – 8;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = 8;y\left( 4 \right) = 0\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 4;4} \right]} y = 8\) tại \(x = 2\sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 4;4} \right]} y = – 8\) tại \(x = – 2\sqrt 2 \).